持ってる is a casual way to say 持っている.
Your understanding is correct.

持っている is Japanese in writing. 持ってる is Japanese in speaking.
The meaning is same.

持っている is more polite, but usually we use 持ってる in conversations.

You can omit 「い」to make it short.
Many J-verbs can be a short from in this way.
「食べている」→「食べてる」
「歩いている」→「歩いてる」and so on.
Both meanings are exactly the same! ^^

Yes. 持ってる is shortened from 持っている. That is more casual than 持っている.


↑ very casual: Alyciaが持ってるスターウォーズの箸はどこに売ってんの？

↑ casual: Alyciaが持ってるスターウォーズの箸はどこに売ってるの？

↑ －－: Alyciaさんが持ってるスターウォーズの箸はどこに売ってんすか？

･ －－: Alyciaさんが持ってるスターウォーズの箸はどこに売ってんですか？

↓ polite: Alyciaさんが持ってるスターウォーズの箸はどこに売ってるんですか？

↓ －－: Alyciaさんが持ってるスターウォーズの箸はどこに売っているんですか？　　　　　

↓ more polite: Alyciaさんが持っているスターウォーズのお箸はどこに売っているのですか？

両方とも同じ意味です。

「持っている」は丁寧な表現です。
こちらのほうがきれいな日本語ですよ。

「持ってる」はcasualな表現ですね。
友達同士や家族と話すときは使ってもいいと思います。

I'll show you similar expressions.
走ってる　走っている
食べてる　食べている
話してる　話している
泣いてる　泣いている
聞いてる　聞いている
(^^)/

Hello, Alycia! Long time no seeㅋㅋ oh, you learning Japanese.I don't speak well japanese... I have studied yet.
How are you doing? I have lovely weekend tomorrow! I going to movie theater with my friends.
I go to bed early today.It's 11:23 clock.Bye~

It's a good question!!
Everyone explain in full. みなさんの言うとおりですよ。テレビの経済コメンテーターのような立場の人でも「持ってます」ような「い」が抜け落ちた言葉を使っていますので、正式ではないですが、slangというほどでもないと自分は思っています。

May I have a question?。
"gonna"は、どんな場面で使ってもだいじょうぶですか？

↑ casual
－－－－－:　　　俺は　箸を持って る。
－－－－－:　　　俺は 箸を持って いる。
－－－－－:　　　俺、 箸　持って るっす。(no good to use)
（一般的）:　わたしは　箸を持って ます。
丁寧　　　:　わたしはお箸を持って います。
丁寧＋謙譲:わたくしはお箸を持って おります。
↓ polite