「もう～」は雨が降りそうで降っていなかったのが、降り始めたときに、
「雨も～」はまったく違う意味で、「雨も」「雹（ひょう）も」と並べて言いたいときに言います。

もう雨が降る It will rain soon
雨も降る It also rains(?) (I think the situation in which you say this is rare)

「もう(soon, already)」と「も(also)」を混同した！？

日本の関東地方も梅雨入りしました。例年より12日早く。
梅雨=rainy seasonですが、わかりますか？
これから7月始めまで、ジメジメした天気が続きます。

もう雨が降るはまだ降っていなくて、
まもなく降るだろうというときに使うかな。
雨も降るは雨以外にも何か降っているときに使いますね。
雪と一緒に降っているときにはみぞれと呼びますよ。

「もう雨が降る」は雨がふりそうな感じで、「雨も降る」は雨以外も降っていることだと思います。