「雨が。。。」
雨が降る。
雨がやむ。
雨があがる。
雨の勢いがおさまる。

「。。。が混む」
道路が混む。
車が混む。
電車・バスが混む。（車内に人がいっぱい、の意味）

「～ています」は、「過去にそういうできことがあった」いわゆる「歴史的事実」を述べる時や、経験や事実を記録として述べる時によく使います。

例文
「アポロ11号は、1969年に月に着陸している」
「私は過去に、その試験をもう3回も受けているが、まだ合格していない」

文法的にどう説明すればよいのかちょっとわかりませんが、「～ている」、「～ています」は、過去のことに対しても使うのです。
（英語における現在完了形(have + p.p.)にあたると思うのですが）
これが、「～る」、「～ます」だと、現在や未来、あるいは過去から未来までずっと変わらないこと、などに対してしか使えません。だから、「2006年にテレビアニメ化されます」という文章だと、ななみさんのおっしゃるとおり、2006年はもう過去のことなので、間違いになります。

ななみさんの元の文章の「2006年にテレビアニメ化されました。」も間違ってはいないんですよ。
でも、「テレビアニメ化されました」より「テレビアニメ化されています」の方がたしかに自然な印象がします。これはどうしてなのか説明するのはかなり難しいですね…。
以下、間違った説明かもしれませんが、僕の解釈だと次のような感じです。「されました」ではなく「されています」になるのは、やっぱり英語の現在完了形と同じで、「単なる過去のこと」ではなく、「現在と関わりのある過去のこと（現在の状態の原因となっている過去のこと）」について話している感じがするからかなあと思います。
つまり、テレビアニメ化されたのは過去のことですが、これを現在の話題として、現在のななみさんの関心事としてお話しているから、現在形の方が合っている感じがするのではないかと思います。

本来はアニメを見た後、この漫画を読み始めましたけど、読んだ時にだんだん好きになってしまいました。
「けど」、「けれど」は、「です・ます」調では「ですが」になります。
だけど、「この漫画を読み始めましたですが」、つまり、「～ましたですが」という言い方はしません。
なので、「この漫画を読み始めたのですが」もしくは「この漫画を読み始めましたが」という言い方になります。

あと、「読んだ時にだんだん好きになってしまいました。」という言い方はちょっと不自然に聞こえます。
なぜか？
「読んだ時に」と言われると、通常、点のような、あまり広がりのない時間をイメージさせられます。
しかし、それにつづく「だんだん」は、ある程度の時間の流れを伴って、その流れの中で、少しずつ状態が変化していく感じをイメージさせます。
だから、「点」のようなイメージの「読んだ時に」と「流れ（広がり）」のようなイメージの「だんだん」が矛盾するように感じ、不自然に感じてしまうのです。
だから、僕の添削では「読んだ時に」を「読んでいるうちに」に変えています。「～でいる（ている）うちに」は、これ自体時間の流れを含んだ表現なので、「だんだん」とうまくつながります。
他の方は「だんだん」を「ますます」という言葉に置き換えています。ここでの「ますます」は、時間の流れのイメージを伴わないので、これはこれで「読んだ時に」の点のイメージと合うようになります。

だったらここでは「すこしずつ日本語を上達させたいんだ」もしくは「すこしずつ日本語がうまくなりたいんだ」の方がいいかも。
「アップロードする」という意味ならば、「少しずつ日本語をアップしたいんだ」で、使い方としては正しいけれども、ちょっと唐突な感じがするので、「少しずつ日本語の文章をアップしたいんだ」と言った方がいいかも。

ともあれ、普通日本語で「アップする」と言うと、「（インターネット上に記事などを）アップロードする」もしくは「準備運動などをして、体の状態を整える」という意味にとられると思います。