「人がたくさんいる」も正しいです。
でも、「人がおおぜいいる」の方がもっと良いです。
だから先生の言うことも間違っていません。

「大勢（おおぜい）」は”多くの人”のこと、「たくさん」は数が多いことで、人にも使います。
ex. 「渋谷の駅前には、いつも人がたくさん/大勢いる。」

人によって感じ方が違うようです。
ご参照まで↓
http://www.nhk.or.jp/bunken/research/kotoba/qa/kotoba_qa_09010101.html

辞書では、「たくさん」は「物の数や量が多いこと」と書いてありますが、
実際に話す時には人にも使います。
ちなみに「おおぜい」は、実際に話すときでも人にしか使えません。

「人がたくさんいる」は正しいです。『人がおおぜいいる』も正しいです。
どう使い分けるかは、ごめんなさい。私は説明できません。

「おおぜい」＝『たくさん』＋『人』。つまり『人』のときだけ使うことができます。this can use for "people (human being)" only
「たくさん」＝人、物の数や量（りょう）が多い。many number/ quantity/ amount of people/ things

O.K＝鳥がたくさんいる　　N.G.=鳥が大勢いる

1.　日本人も「人がたくさんいる」って聞きました

「聞く」の主体は「私」なので、「私は聞きました。」となります。

『日本人も「人がたくさんいる」って聞きました』の文だと、「日本人も聞きました。」と聞くの主体が日本人になってしまうので、間違いです。

『(私は)日本人が「人がたくさんいる」と言っているのを聞きました』となります。

2.　「時々」について

動作の繰り返しを表す言葉なので、まだその動作が繰り返される可能性がある場合、過去形にしない方が良いです。

1.2.の点を修正して、
『時々日本人が「人がたくさんいる」って言っているのを聞きますが…』
とすると自然です。

⇒大勢は人以外には使えないけれど、「たくさん」は人にも使えますよ。
私は「たくさん」の方をよく使いますね。特に友達との会話では。

皆さん：

親切に教えてくださって本当にありがとうございます！
いま「たくさん」も「おおぜい」も大体わかります！

そして、修正してくださった方も詳しく説明して、私は間違ったこともわかりました！
本当にありがとうございますっ！
これからも宜しくお願いします